懂数学竟然也有助于破案:三个与数字破案有关的经典案件?
如果你哪天不留神做错了一道概率题会有什么不堪设想的严重后果?自然是没有的。我想最多也就是考试挂科,补考重修而已。
可是对于法庭上那帮戴着假发的人来说,概率没算好可以让无辜的人进监狱,让真正的罪犯逍遥法外。听起来似乎不可思议,但这样的事情真的发生过!
1、洛杉矶抢劫案
历史上最着名的案例要数 1964 年夏天发生在美国洛杉矶的一起劫案。
一天中午,一位老妇人从杂货店买了东西推着小车回家,途经一条小巷时,突然被一位冲过来的年轻女子推倒,等老妇人醒过神来,发现自己身上的钱包已被偷走,女贼也早跑了很远。
虽然老妇人没有看清罪犯是什么样子,可小巷周围的不少住户都曾与这位女子擦肩而过,并且看到她在街头跳上一辆车逃离现场。
后来警方根据目击者描述的犯罪者特征,几天后在附近逮捕了一对夫妻(Malcolm Collins 和 Janet Collins. Malcolm)。
可是在法庭上,目击者中并没有人能够清晰地指认出罪犯,因此检方很难将 2 人定罪。
于是检察官们想出了一个“新颖的办法”,他们把目击证人说出的几条主要特征列了出来,并且根据洛杉矶地区的数据估算了这些特征会出现的概率:
黄色的汽车:1/10
嘴上面有短胡子的男性:1/4
络腮胡子的黑人:1/10
马尾辫女孩:1/10
金发女孩:1/3
汽车中有肤色不同的夫妻俩:1/1000
检察官找来一位“数学专业人士”,计算了在整个洛杉矶地区符合上述各条特征的夫妇存在的概率,这位“数学专业人士”认为最后的概率应该是 6 个概率值乘到一起,结果就是 1/1200万。
检察官据此告知评审团,如此小的概率很难发生,附近地区很难再找到另外一对 6 项特征全部符合的夫妇,所以这对嫌疑人一定是罪犯。陪审团最终采纳了检方的意见,判定这对夫妇抢劫罪成立。
可是后来加州高等法院驳回了这个判决,他们认为检方使用的概率作为证据的方式是错误的。
首先,概率乘法公式 P(ABC) = P(A)P(B)P(C) 一定要在 A,B,C 都是独立事件的时候才成立,可是目击者提供的那些特征并不相互独立。
比如留八字胡的男性和留络腮胡的男性这两项,“男性”这个信息是重叠的,而喜欢留胡子的人往往两个位置都会留胡子,两个特征高度关联,同时发生的概率远远大于两个数字相乘。
马尾辫女孩和短发女孩也是同样的道理。这样的话,正确的概率可能会是 1/1200万的很多倍,并没有那么低。
退一步说,假定概率真的是 1/1200万,以案发附近地区有 400 万人算,至少有2位夫妇符合目击者全部特征的概率是 1 - (11999999/12000000) 4000000 ,超过 30%,也就是说,仅仅根据1/1200万的概率断就判定这对夫妇是唯一的也没有道理。
2、母亲杀子案
1999 年,英国也有一次“概率定罪”的案件。一个Sally Clark的妇女第一个孩子出生之后几个星期离奇死亡,医生查不出其他病因,只诊断为一种叫 SIDS (婴儿猝死综合症)的罕见疾病。
随后Clark再次怀孕,第 2 个孩子也在出生后几个星期死亡,原因再次被诊断为SIDS。这件事引起了警方的怀疑,警方认为 2 个孩子有可能是“被猝死”的,将 Clark 逮捕。
在法庭上,检方引用医生的证明,声称 SIDS 这种病发病率很低,而且不是遗传病,所以可以把两个孩子的 SIDS 死亡看作独立事件,相乘之后的概率只有 1/7300万。
和洛杉矶劫案类似,概率在这里再次被当做一个关键证据。检方以此说服了陪审团,法庭最后认为两个孩子连续得这种突发罕见疾病的概率很低,很难发生,Clark 杀死孩子罪行应该成立,被送入监狱。
和上一个故事的结局一样,这个判决后来也被推翻了, Clark 被无罪释放。
不妨让我们来看看检方的观点:
他们认为 P(两个孩子都死于SIDS) = 1/73000000,那么 P(Clark杀了两个孩子) = 1 - 1/73000000 = 72999999/73000000,几乎是铁定的事实。
但是,检方疏忽了一个非常关键的事实,那就是上面这个推理只有在 P(两个孩子都死于SIDS) + P(Clark杀了孩子) = 1 时才成立。事实上,除了这两种情况外还有其他可能,检方并不能完全排除。
英国皇家统计学会后来指出,真要计算的话,一位母亲连续杀死自己两个亲骨肉这样极其BT行为发生的可能性同样是极低的,甚至低于两个孩子都死于 SIDS 病的可能性。
在判断概率的时候,不能只看P(两个孩子都死于SIDS)有多小,还要看和P(母亲连续杀死两个孩子)做相对比较。
最后上诉的一方凭借更加全面的解释和一些新证据(比如第二个孩子可能受过细菌感染,有可能既不是死于 SIDS,也不是被杀)成功地为 Clark 洗脱罪名。
3、辛普森杀妻案
第三个案件是美国的 1994 年到 1995 年的Simpson辛普森案件,辛普森是当年着名的橄榄球明星,因为涉嫌杀害自己的妻子被起诉,引起轩然大波,当时估计全美有1亿人看了对这个案件的电视转播。
腰缠万贯的辛普森花高价聘请“梦幻组合律师团”为自己辩护,其中包括哈佛大学法学院的教授Alan Dershowitz,作为一位百战百胜的律师,Alan在这个案件中作为辩方一员再次大展身手。
本来警方在案件现场收集到了很多证据,包括带血的手套、血迹、现场DNA检验。为了证实辛普森是有意图杀害自己妻子的,警方还特意收集了大量辛普森长期殴打虐待妻子的证据。
似乎辛普森难逃被定罪伏法的命运,可是辩护律师们通过各种方法一一化解掉了检方的所有证据,护律师团还宣称洛杉矶警察局有其他失职行为。在经历了长达9个月的审判后,辛普森被宣判无罪。
在 9 个月的马拉松式审判中,有一个用数学来辩护的小插曲。就是在对于虐待妻子这一条上,大律师Alan用概率的方法在法庭上辩解:
“美国每年有 400 万妇女被丈夫或男友殴打,可是美国每年只有 1432 名妇女被丈夫杀死,这样说明那些长期虐待妻子的男人最后出手杀人的概率也就 1/2500,检方的说法不靠谱”。
Alan的辩词似乎听起来挺有道理,检察官一时“反应不过来”,提不出好的理由进行反驳。
可是从概率的角度上看,Alan的辩词只是狡辩而已。我们定义事件 A 是一个美国人虐待了妻子, B 是一个美国人杀了妻子。在事先没有任何给定信息的前提下,Alan律师估计的条件概率是 P(B|A) = 1/2500。
但现实是,事件 A 已经发生,辛普森确实虐待了妻子,概率为1。他的妻子被杀的事情也已经发生,只是不清楚是谁是凶手。P(B|A)中 A、B 真正的定义应该是:
A:一个人虐待优艾设计网_设计模板了妻子并且妻子被杀
B:凶手正是这个人
根据资料,P(B|A)可以达到 90% 之高,也就是说在所有遭到谋杀的被虐美国妻子中,90%是被施虐者杀害。不过在庭审的时候,检方并没有能及时提出这个论点,不幸让Alan律师的诡辩得逞。
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